向量与线性方程组

设 α₁, α₂, …, αₘ 为 n 维向量组，记 A = (α₁, α₂, …, αₘ)（以向量为列构成的 n×m 矩阵），则下列命题等价：

① 向量组 α₁, α₂, …, αₘ 线性相关；

② 存在某个向量可由其余向量线性表示（即至少有一个向量是"多余"的）；

③ 齐次方程组 Ax = 0 有非零解；

④ 矩阵 A 的秩 r(A) < m（秩小于向量个数）。

特别地（m = n，即 n 个 n 维向量）：向量组线性相关 ⟺ |A| = 0（行列式为零）；线性无关 ⟺ |A| ≠ 0。

性质1（部分与整体）：若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关；逆否命题：若整个向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关。

性质2（个数与维数）：若向量个数 m 大于向量维数 n（即 m > n），则向量组必线性相关。特别地，n+1 个 n 维向量必线性相关。

性质3（唯一表示）：若 α₁, α₂, …, αₘ 线性无关，而 α₁, α₂, …, αₘ, β 线性相关，则 β 可由 α₁, α₂, …, αₘ 唯一地线性表示。

性质4（低维到高维）：若向量组中每个向量去掉若干个相同位置的分量后得到的新向量组线性无关，则原向量组也线性无关；反之，若原向量组线性相关，则去掉分量后也线性相关。

定理1（三秩相等）：矩阵 A 的秩 = A 的行向量组的秩 = A 的列向量组的秩。即 r(A) = r(行向量组) = r(列向量组)。这是把向量问题转化为矩阵问题的桥梁。

定理2（表示与秩）：若向量组 A 可由向量组 B 线性表示，则 r(A) ≤ r(B)。特别地，若两个向量组等价（可互相线性表示），则它们的秩相等。

定理3（秩的不等式）：设 A 为 m×n 矩阵，B 为 n×s 矩阵，则：

· r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}（乘积的秩不超过各因子秩的最小值）；

· r(A) + r(B) - n ≤ r(AB)（西尔维斯特不等式）；

· 若 A 可逆，则 r(AB) = r(B)；若 B 可逆，则 r(AB) = r(A)（乘可逆矩阵秩不变）。

定理4（和的秩）：r(A + B) ≤ r(A) + r(B)；对向量组 max{r(A), r(B)} ≤ r(A, B) ≤ r(A) + r(B)，其中 (A, B) 为合并后的矩阵。

第一步：将各向量作为列构造矩阵 A = (α₁, α₂, …, αₘ)。

第二步：对 A 施行初等行变换（注意：只能用行变换，不能用列变换），化为行最简形矩阵。

第三步：在行最简形中，每个非零行首个非零元（主元）所在的列称为主元列。主元列所对应的原向量组中的向量，即为一个极大线性无关组；主元列的个数即为向量组的秩 r。

第四步：其余向量（非主元列对应的原向量）用极大无关组线性表示的系数，可由行最简形中该列的各分量直接读出。

齐次线性方程组 Ax = 0 必有零解 x = 0。关于非零解：

① Ax = 0 只有零解 ⟺ r(A) = n（秩等于未知数个数）⟺ A 的列向量组线性无关；

② Ax = 0 有非零解 ⟺ r(A) < n（秩小于未知数个数）⟺ A 的列向量组线性相关；

③ 当 m < n（方程个数少于未知数个数）时，r(A) ≤ m < n，故 Ax = 0 必有非零解。

特别地，当 A 为 n 阶方阵时：Ax = 0 只有零解 ⟺ |A| ≠ 0；有非零解 ⟺ |A| = 0。

解的性质：若 ξ₁, ξ₂ 都是 Ax = 0 的解，k₁, k₂ 为任意实数，则 k₁ξ₁ + k₂ξ₂ 也是 Ax = 0 的解。即齐次方程组的解集对线性运算封闭，构成一个向量空间（称为解空间）。

基础解系：设 r(A) = r < n，则 Ax = 0 的解空间维数为 n - r。即存在 n - r 个线性无关的解 ξ₁, ξ₂, …, ξ_n-r，称为 Ax = 0 的一个基础解系。它满足：① 每个 ξᵢ 都是解；② 它们线性无关；③ 任一解都可由它们线性表示。

通解结构：设 ξ₁, ξ₂, …, ξ_n-r 为基础解系，则 Ax = 0 的通解为：

第一步：写出系数矩阵 A，施行初等行变换化为行最简形矩阵。

第二步：确定秩 r = r(A)，从而基础解系含 n - r 个向量。主元对应的变量为约束变量（基本变量），其余 n - r 个为自由变量。

第三步：将自由变量用任意常数 k₁, k₂, …, k_n-r 表示，回代求出约束变量的表达式，得到通解。或令自由变量分别取（1,0,…,0）、(0,1,…,0)、…、(0,…,0,1)，求出 n - r 个线性无关的解，即为基础解系。

第四步：写出通解 x = k₁ξ₁ + … + k_n-rξ_n-r。

解的性质：

① 若 η₁, η₂ 都是 Ax = b 的解，则 η₁ - η₂ 是导出组 Ax = 0 的解；

② 若 η* 是 Ax = b 的解，ξ 是 Ax = 0 的解，则 η* + ξ 仍是 Ax = b 的解。

通解结构：设 r(A) = r(A | b) = r < n，η* 为 Ax = b 的一个特解，ξ₁, ξ₂, …, ξ_n-r 为导出组 Ax = 0 的基础解系，则 Ax = b 的通解为：

第一步：写出增广矩阵 (A | b)，施行初等行变换化为行最简形矩阵。

第二步：比较 r(A) 与 r(A | b)：若 r(A) < r(A | b) 则无解；否则确定秩 r，判断是唯一解还是无穷多解。

第三步（求特解）：令所有自由变量取 0，由行最简形读出约束变量的值，得到一个特解 η*。

第四步（求导出组基础解系）：令自由变量分别取 (1,0,…,0), (0,1,…,0), … 等组合，求出导出组 Ax = 0 的 n - r 个线性无关的解 ξ₁, …, ξ_n-r。

第五步：写出通解 x = η* + k₁ξ₁ + … + k_n-rξ_n-r。

设 A 为 m×n 矩阵，B 为 n×s 矩阵，若 AB = O（零矩阵），则：

① B 的每一列都是齐次方程组 Ax = 0 的解；

② 从而 r(A) + r(B) ≤ n（因为 B 的列作为 Ax=0 的解，其秩不超过解空间维数 n - r(A)）；

③ 特别地，若 AB = O 且 A ≠ O，则 A 的列向量中有非零向量与 B 的列正交。这一结论是联系矩阵乘法、秩与方程组解的核心枢纽，在证明题中极为常用。