4 第3章：函数的概念与性质

函数是高中数学最核心的研究对象。理解函数，就是理解”规律”的本质。

第 3 章

y = f(x)

函数的概念与性质

理解对应关系，探索单调、奇偶、幂次的世界

🌟 生活类比

自动贩卖机：你按下按钮（输入 x），它给你饮料（输出 y）。
同一个按钮只能出来一种饮料（一个 x 只对应一个 y），这就是函数的"单值性"。
定义域是你能按的按钮（x 的范围），值域是机器能出的饮料（y 的范围）。

函数的定义：设 \(A\)、\(B\) 是两个非空数集，如果按照某种法则 \(f\)，对于集合 \(A\) 中的每一个数 \(x\)，在集合 \(B\) 中都有唯一确定的数 \(f(x)\) 与之对应，那么 \(f\) 就叫做从 \(A\) 到 \(B\) 的函数，记作：

\[f: A \to B, \quad y = f(x), \quad x \in A\]

📌 函数三要素

两个函数相同，需要：①定义域相同 ②对应法则相同（值域自动相同）
例：y=x 和 y=√(x²) 值域相同，但 y=x 的定义域是 ℝ，y=√(x²)=|x| 也在 ℝ，但 y≠x。

函数的三种表示方法：

定义：设 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上有定义，对 \(D\) 内任意 \(x_1 < x_2\)：

\[\text{单调递增：}f(x_1) < f(x_2)\] \[\text{单调递减：}f(x_1) > f(x_2)\]

单调性的证明步骤（作差法）

① 设 \(x_1, x_2 \in D\)，且 \(x_1 < x_2\)
② 计算 \(f(x_1) - f(x_2)\)
③ 判断差的符号（>0 递减，<0 递增）
④ 得出结论

偶函数：若 \(f(-x) = f(x)\)，则 \(f(x)\) 是偶函数，图像关于 \(y\) 轴对称。

奇函数：若 \(f(-x) = -f(x)\)，则 \(f(x)\) 是奇函数，图像关于原点对称。

⚠️ 注意

讨论奇偶性时，函数的定义域必须关于原点对称（即若 x∈D，则 -x∈D）。
一个函数可以既不是奇函数也不是偶函数（如 y=x+1）。

🎮 互动：函数图像探索器

选择函数：

定义：\(f(x) = x^\alpha\)（\(\alpha\) 为常数）。

常见幂函数特征：

函数	\(\alpha\)	定义域	特征
\(y=x\)	1	\(\mathbb{R}\)	直线，奇函数
\(y=x^2\)	2	\(\mathbb{R}\)	抛物线，偶函数
\(y=x^3\)	3	\(\mathbb{R}\)	奇函数，增函数
\(y=\sqrt{x}\)	1/2	\([0,+\infty)\)	非奇非偶
\(y=\frac{1}{x}\)	−1	\(\{x\mid x\neq 0\}\)	奇函数，双曲线

共同规律：所有幂函数都过点 \((1,1)\)（当 \(x=1\) 时，\(x^\alpha=1\)）。

最值问题策略：

1. 函数 \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} + \lg(x+1)\) 的定义域是：

2. 下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是：

3. 若函数 f(x)=x²+bx+c 是偶函数，则 b 的值为：